Et essay om uendelighed
ved Niels Fleckner Hansen


Da jeg læste Bertrand Russels ”Vestens filosofi”, støtte jeg på en gåde, som syntes uløselig. Han stillede spørgsmålet: Hvilken mængde er størst, dvs. indeholder flest elementer ? Mængden af de naturlige tal eller mængden af de lige tal ?
De naturlige tal er dem vi tæller med: 1,2,3,4,… osv. Og de lige tal er de tal, som kan deles med to: 2,4,6,8,… osv.
På den ene side kan man sige, at begge mængder er uendeligt store, idet man for begge talrækkers vedkommende ka blive ved med at tælle i en uendelighed. Begge mængder er uendeligt store og derfor lige store. Yderligere kan man hævde, at det f.eks. lader sig gøre at nummerere hvert af de lige tal med et naturligt tal. I mængden af lige tal er tallet 2 det første og får derfor nummeret ”1”, tallet 4 er det andet, og får derfor nummeret ”2” og så fremdeles:

Mængden af lige tal: 2,4,6,…
Tallets nummer: 1,2,3,…

Dette taler altså også for at mængderne må være lige store.

I modstrid med det ovennævnte er dog, at der i mellem hvert lige tal er et ulige naturligt tal. Man skulle derfor formode, at der må være næsten dobbelt så mange naturlige tal som lige tal. F.eks. i mængden af lige tal fra: 2,…,8 er der således fire tal, mens der i mængden af naturlige tal fra 2,…,8 er tallene: 2,3,4,5,6,7,8 altså syv tal og næsten dobbelt så mange.
I enhver afgrænset mængde, vil der derfor indenfor samme interval være næsten dobbelt så mange naturlige som lige tal. Hvorfor skulle dette ikke også være tilfældet, hvis vi lod mængderne fortsætte i det uendelige ?
Efter min bedste overbevisning er den rigtige løsning på gåden, at der ikke kan gives noget meningsfuldt svar på spørgsmålet. Spørgsmålet er forkert, eller et ”vrøvle-spørgsmål”, svarende til spørgsmål som: Hvad er højest: Runde tårn eller et torden skrald ? eller Hvordan lyder farven gul ? Vi står med andre ord overfor et semantisk problem.
Spørgsmålet kan ikke meningsfuldt stilles, da prædikaterne: større end, mindre end eller ligeså stor kun meningsfuldt kan tilskrives tællelige mængder. Dvs. mængder af afgrænset størrelse. I det øjeblik vi indfører begrebet ”uendelig” er vi ude over det tælleliges område.
En mængde der fortsætter i det uendelige er hverken i praksis eller principielt tællelig. Dette impliceres sådan set af begrebet uendelig. I matematikken må gælde, at begreberne større end, mindre end eller lige så stor kun kan anvendes mellem kvantificerbare størrelser.

Til tekster
Til forsiden